Definicje

Permutacja

wszystkie możliwe ułożenia zbioru w ciągi (n!)

Permutacja z powtórzeniami

wszystkie możliwe ułożenia zbioru w ciągi z wykluczeniem powtórzeń (n! / n1! * ... * nn!)

Kombinacja

dowolny k-elementowy podzbiór spośród n-elementów (n po k)

Kombinacja z powtórzeniami

dowolny k-elementowy multizbiór z n (n+k-1 po k)

Wariancja

dowolny k-elementowy ciąg z n-elementowego zbioru (n * n-1 * ... n-k+1 )

Wariancja z powtórzeniami

dowolny k-elementowy ciąg z powtórzeniami (n^k)

Omega - co to?

dowolny zbiór, wszystkie zdarzenia elementarne

w pisane - co to?

dowolne zdarzenie elementarne zawarte w omega (wszystkie zdarzenia elementarne)

f pisane - co to?

klasa zdarzen (minimalne wymagania co do zdarzenia w)

sigma ciało - co to?

rodzina zdarzen f pisane spelniajaca warunki na F pisane

sigma cialo jest podzbiorem...

Omega

Prawdopodobieństwo - co to?

dowolna funkcja z klasy zdarzen f w zbior liczb rzeczywistych okreslona na sigma ciele zdarzen F

prawdopodobieństwo - warunki

P(A) >= 0 P(omega) = 1 jesli zbiory bez czesci wspolnej to mozna je posumowac bez odejmowan

Przestrzen probabilistyczna - co to?

matematyczny model doswiadczenia losowego (Omega, f, p)

Przestrzen probabilistyczna - wlasnosci

P(pusty) = 0 suma rozlacznych suma bez odejmowan P(przeciwne) = 1 - P(A) A zawarte w B to P(B-A) =< P(B) - P(A) P(A) =< 1 P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Prawdopodobieństwo warunkowe

P(A|B) = P(A n B) / P(B)

Prawdopodobieństwo warunkowe - wzory

P(A n B) = P(A|B) * P(B) P (A1 n ... n An) = P(A1) * P(A2|A1) * ... * P(An|A1 n ... n An-1)

Obliczanie prawdopodobienstwa zdarzenia uzywajac innych zdarzen

P(E) = P(EF) + P(EF') = P(E|F) * P(F) + P(E|F') * P(F')

Prawdopodobieństwo całkowite

Podzial zbioru na rozlaczne podzbiory ktore sumuja sie do omegi oraz zalozenie ze jeden z nich zachodzi - srednia szansa zajscia jednego ze zdarzen

Prawdopodobieństwo całkowite - wzor

P(E) = suma 1 do k P (E n Fi) = suma 1 do k P(E|Fi) * P(Fi)

Zdarzenia niezalezne

P(E n F) = P(E) * P(F)

Wzor bayesa

P(Fj|E) = P(E n Fj) / P(E) = (P(E|Fj) * P(Fj)) / (suma 1 do k P(E|Fi) * P(Fi))

Częściowa definicja prawdopodobieństwa

P(E) = lim n -> oo n(E) / n

Zmienna losowa

Funkcja z omegi w R, przyporzadkowujaca sprzyjajace zdarzenia zmiennej

Rozklad prawdopodobieństwa - wzor

ux = P(X = B)

Rozklad prawdopodobieństwa - dyskretny

zbiory sumujace sie do 1

Rozklad prawdopodobieństwa - ciagly

calka z gestosci w danym zbiorze

Dystrybuanta zmiennej losowej

Fx(t) = P(X <= t)

Wlasnosci dystrybuanty

niemalejaca, prawostronnie ciagla, od 0 do 1

Zaleznosci dystrybuanty

P (X = t) = Fx(t) - Fx(t-) P (X do [A,b)) = Fx(b-) - Fx(a-) P (X do [A, b]) = Fx(b) - Fx(a-) P (X do (A,b)) = Fx(b-) - Fx(a) P (X do (A, B]) = Fx(b) - Fx(a) Fx(t+) = lim t+ F(s) Fx(t-) = lim t- F(s)

Gestosc ciaglej zmiennej losowej

Fx(X) = P(- oo, X) = calka od -oo do X po fx(t) dt

(c)' =

0

(ax)' =

a

(x^n)' =

nx^n-1

(a/x)' =

- a / x^2

(sqrt(x))` =

1 / 2 * sqrt(x)

(e^x)'

e^x

(a^x)'

a^x * lna

(lnx)' =

1/x

(logax)'

1 / x lna

(cosx)'

-sin x

(sinx)'

cosx

(tgx)'

1/cos2x

(ctgx)'

1/-sin2x

(f + g)'

f' + g'

(cf)'

c f'

(fg)'

f'g + fg'

(f/g)' =

(f' g - f g') / g2

[f(y)]' =

f' y'