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De broglie wavelength equation
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p=h/lambda; p = mv
v_ph phase velocity
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v_ph = w/k
v_g group velocity
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d/dk (w)
angular momentum
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L=rp
Gaussian integral inf{x^2n * e^-ax^2 dx
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(2n-1)!!!/(2a)^n * sqrt(pi/a)
0toinf{e^-ax dx
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1/a
0toinf{x^n * e^-ax dx
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n!/ a^(n+1)
Probability current density
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j = ħ/m * Im(phi* * dphi/dx) = ħ / 2mi (phi* * dphi/dx - phi * dphi*/dx)
PHI(x,t) for stationary state
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=phi(x)*e^(-iEt/ħ)
probability density of PHI
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p(x,t) = |PHI(x,t)|^2
continuity equation
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dp/dt = dj/dx
normalization wave function phi(x)
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inf{|phi(x)|^2 dx = 1
Momentum operator p
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= -iħ d/dx
operator expectation value
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goes between phi* and phi
variance delta operator A
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(delta A)^2 = <A^2> - <A>^2
heisenberg uncertainty principle
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delta x * delta p >= ħ/2
ħ
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=h/2pi
operator hermitian when
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A=Across
inflection (turning) point
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when E - V(x_t) =0
For stationary wave functions
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phi’’ = 2’/ħ^2 * (V-E) * phi
<f|g>
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inf{f*(x) g(x) dx
|phi1> and |phi2> ortho when
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<phi1|phi2> = 0
Cauchy schwarz
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|<phi1|phi2>|^2 <= <phi1|phi1><phi2|phi2>
[x, p]
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=iħ
[p, x]
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-iħ
stationary schrodinger equTion
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-ħ^2/2m phi’’ + V*phi = E * phi
for phi to be an energy eigenstate
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E must be constant independent of x
energy level of oscillator
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E_n = ħOMEGA(n+1/2) and V(x) = 1/2 m ONEGA^2 x^2
normalization of phi matrix
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requires phi cross * phi = 1
P_x(+)
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= |<x+|phi>|^2
ritz principle
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<phi|H|phi> >= E_0
standard hydrogen 1s wavefunction
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phi(r) = 1/sqrt(pi*a_0^3) * e^-r/a_0
<r>
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4pi * 0toinf{r^3 |phi|^2 dr
phi 2s hydrogen
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in sqrt add * 32 all times (2-r/a_0) * e^-r/2a_0
hydrogen atom behaves like
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boson since even number of fermions (2 electrons and 2 protons)
for a free particle E
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E = ħw = ħ^2*k^2 / 2m
For plane-wave amplitudes reflective R
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= |jreflected| / |jincoming| for equal k, R = |B|^2/|A|^2
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