teoria planimetria

ortocentrum trójkąta

punkt w którym przecinają się jego wysokości lub ich przedłużenia

ortocentrum trójkąta leży

wewnątrz trójkąta gdy jest ostrokątny, w wierzchołku kąta prostego gdy jest prostokątny, na zewnątrz trojkata gdy jest rozwartokątny

dwusieczna kąta

1. półprosta która dzieli kąt na dwa kąty przystające 2. zbiór punktów równo oddalonych od ramion tego kąta

środek okręgu WPISANEGO w trójkąt

punkt przecięcia się dwusiecznej kątów wewnętrznych trójkąta

środek okręgu OPISANEGO na trójkącie

punkt przecięcia się symetralnych boków tego trójkąta (punkt równo odległy od wszystkich wierzchołków)

symetralna odcinka

1. prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek 2. zbiór punktów na płaszczyźnie rowno odległych od obu końców odcinka

środek okręgu opisanego na trójkącie leży

wewnątrz dla ostrokątnego, na środku przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, poza trójkątem dla rozwartokątnego

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta z środkiem przeciwległego boku

środek ciężkości trójkąta

inaczej barycentrum, punkt w którym przecinają się środkowe trójkąta

twierdzenie o środkowych w trójkącie

w każdym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie zwanym barycentrum lub środkiem ciężkości trójkąta, który dzieli je w stosunku 2:1 od wierzchołka

twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta

w każdym trójkącie odcinek łączący środki boków tego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i o połowę od niego krótszy

twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta

(a/x=b/c-x)

twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego

długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego to średnia geometryczna długości odcinków na jakie ta wysokość dzieli przeciwprostokątną

poprowadzenie wysokości w trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego powoduje

powstanie trzech trójkątów podobnych

siedem wzorów na pole trójkąta

1/2ah; 1/2acsinB; wzór herona pierwiastek z p(p-a)(p-b)(p-c) gdzie p=1/2a+b+c; okrąg wpisany pr; okrąg opisany abc/4R; okrąg opisany 2R^2sinAsinBsinC; 1/2|d(AC, AB)|

równanie kanoniczne okręgu

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

równanie ogólne okręgu

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 ....... jeżeli a^2 + b^2 - c > 0 okrąg o promieniu pierwiastek z a^2 + b^2 - c, jeżeli =0 to punkt (a,b), jeżeli <0 to zbiór pusty

odległość punktu od prostej (definicja)

0 jeżeli punkt leży na prostej, długość odcinka który łączy ten punkt z prostą pod kątem prostym jeżeli nie leży na prostej

wzór na odległość punktu od prostej

d = (|Ax + By + C|) / pierwiastek z (A^2 + B^2)

twierdzenie o odcinkach stycznych

ich odległość od środka okręgu jest równa

w każdy wielokąt foremny

można wpisać okrąg (w każdym dwusieczne przecinają się w jednym punkcie)

na każdym wielokącie foremnym

można opisać okrąg (w każdym wielokącie foremnym symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie)

wzór na pole wycinka koła

360° - πr²; A - Pw

wzór na długość łuku wycinka koła

360° - 2πr; A - Łw

twierdzenie WKW na to aby na czworokącie można było OPISAĆ okrąg

okrąg można opisać wtedy i tylko wtedy gdy sumy przeciwległych kątów są równe i wynoszą 180

twierdzenie WKW na to aby w czworokąt WPISAĆ okrąg

gdy sumy przeciwległych boków są równe

twierdzenie Ptolemeusza

na czworokącie wypukłym można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków tego czworokąta

wzór na długość odcinka

pierwiastek z ((x1-x2)² + (y1-y2)²)

środek odcinka wzór

S (x1+x2/2 , y1+y2/2)

wzór na środek ciężkości

współrzędne są średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków trójkąta (x1+x2+x3/3 ,)

kąt wpisany

to kąt którego wierzchołek znajduje się na okręgu koła a jego ramiona zawierają cięciwy koła. to kąt WYPUKŁY

kąt środkowy

kąt którego wierzchołek jest środkiem koła a ramiona zawierają jego promienie

twierdzenie o kątach opartych na tym samym łuku

są równe

twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku

kąt środkowo oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest od niego dwa razy większy

twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy

każdy kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę 90 stopni

wzór na ilość przekątnych w wielokącie foremnym

n(n-3)/2

wzór na sumę kątów w wielokącie foremnym

(n-2)*180°

twierdzenie sinusów (snelliusa)

stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na nim razy dwa (a/sina= b/sinb= 2R)

twierdzenie cosinusów (carnota)

a²=b²+c²-2bccosA

równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

jeśli odcięte punktów są różne to y = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1) + y1

wzór na odległość dwóch prostych równoległych

d = |C1-C2| / pierwiastek z (A²+B²)

wzór na pole trapezu równoramiennego

(pierwiastek z P1 + pierwiastek z P2)^2