mat dys kol 1 teoria

Czym jest cecha?

Cechą (częścią całkowitą) liczby rzeczywistej x nazywamy największą liczbę całkowitą nie przekraczającą wartości liczby x. Część całkowitą liczby x oznaczamy [x]: np. [7,1] = 7, [-2,53] = 3.

Czym jest mantysa?

Mantysą (częścią ułamkową) liczby rzeczywistej x nazywamy różnicę liczby x i jej cechy. Część ułamkową liczby x oznaczamy {x}: np. {7,1} = 7,1 - [7,1] = 7,1 - 7 = 0,1 lub {-2,53} = -2,53 - [-2,53] = -2,53 - (-3) = 0,47.

Czym jest signum?

Signum (znak) liczby rzeczywistej x jest to funkcja oznaczana jako sgn(x) zdefiniowana następująco: sgn(x) = (1 dla x>0) (0 dla x = 0) (-1 dla x<0). Lub sgn(x) = (|x|/x dla x =/= 0) (0 dla x = 0)

Co to jest sigma Σ?

Grecka litera Σ (sigma) jest znakiem sumowania

Co to jest pi Π?

Grecka litera Π (pi) jest znakiem mnożenia

Co obejmuje logika formalna?

Logika formalna obejmuje w zasadzie dwa rachunki logiczne: rachunek zdań i rachunek predykatów.

Jak czytamy „¬...” i jak to się nazywa?

Nieprawda, że ... / Nie ... [NEGACJA]

Jak czytamy „...->...” i jak to się nazywa

Jeżeli ..., to ... [IMPLIKACJA]

Jak czytamy „...ʌ...” i jak to się nazywa

... i ... [KONIUNKCJA]

Jak czytamy „...v..” i jak to się nazywa

... lub ... [ALTERNATYWA]

Jak czytamy „...<->...” i jak to się nazywa

... wtedy i tylko wtedy, gdy ... [RÓWNOWAŻNOŚĆ]

Jak czytamy „..._V_...” i jak to się nazywa

... albo ... [ALTERNATYWA WYKLUCZAJĄCA]

Jak czytamy „...|..” i jak to się nazywa

nie ... lub nie ... / nieprawda, że zarazem ... i ... [KRESKA SHEFFERA]

Jak czytamy „...↓...” i jak to się nazywa

ani ... ani ... / nie ... i nie ... [SPÓJNIK/STRZAŁKA PIERCE'A]

Co powiesz o negacji?

Negacja zamienia wartość logiczną zdania na przeciwną.

Co powiesz o implikacji?

Fałszywa, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. W pozostałych przypadkach jest prawdziwa.

Co powiesz o koniunkcji?

Prawdziwa wtedy, gdy oba czynniki tej koniunkcji są prawdziwe, w pozostałych przypadkach jest fałszywa.

Co powiesz o alternatywie?

Fałszywa wtedy, gdy oba składniki są fałszywe, w pozostałych przypadkach jest prawdziwa.

Co powiesz o równoważności?

Prawdziwa, gdy oba zdania składowe mają te same wartości logiczne. W pozostałych przypadkach jest fałszywa.

Co powiesz o alternatywie wykluczającej?

Fałszywa, gdy oba zdania składowe mają te same wartości logiczne. W pozostałych przypadkach jest prawdziwa. (To negacja równoważności)

Co powiesz o kresce Sheffera?

Gdy oba zdania składowe są prawdziwe otrzymujemy fałsz, w pozostałych przypadkach otrzymujemy prawdę. (To negacja koniunkcji)

Co powiesz o spóniku/strzałce Pierce'a?

Gdy oba zdania składowe są fałszywe otrzymujemy prawdę, w pozostałych przypadkach otrzymujemy fałsz. (To negacja alternatywy)

Jak czytamy "∀x" i jak to się nazywa?

"dla każdego x ..." (A od "all") [Kwantyfikator ogólny]

Jak czytamy "∃x" i jak to się nazywa?

"istnieje taki x ..." (E od "exists") [Kwantyfikator szczegółowy]

Jak czytamy "!∃x" i jak to się nazywa?

"istnieje dokładnie jeden taki x ..."

Co to jest predykat?

Predykatem nazywamy wyrażenie P(x) lub P(x,y). Predykat jednoargumentowy oznacza pewną własność obiektu x. Predykat dwuargumentowy oznacza pewną relację między obiektami x i y. Predykat to funkcja zdaniowa (funkcja o wartościach będących zmiennymi).

Jaka jest dziedzina funkcji zdaniowej P(x)?

Jest to zbiór U. (uniwersum)

Jak nazywamy zmienną x w wyrażeniu P(x)?

To zmienna wolna tego predykatu.

Jak nazywamy zmienną x w zdaniu ∀x P(x)?

To zmienna związana (zmienna związana kwantyfikatorem ∀).

Co to jest stała indywiduowa?

– Symbol oznaczający pewien konkretny obiekt. Stałe indywiduowe oznaczamy zwykle literami a, b, c... itd. Nie podlegają one kwantyfikacji.

Co to jest zdanie (w logice)?

Zdaniem nazywamy w logice każdą wypowiedź w formie zdania oznajmującego, wypowiedź prawdziwą lub fałszywą.

Czym jest spójnik logiczny (funktor zdaniotwórczy)?

spójnikami logicznymi są wyrażenia: "nieprawda, że", "lub", "i", "jeśli..., to...", "wtedy i tylko wtedy, gdy" w ściśle zdefiniowanym znaczeniu (matryce logiczne).

Czym jest zdanie proste?

Zdanie proste jest to zdanie, w którym nie występuje żaden spójnik logiczny.

Czym są zdania składowe?

To zdania wiązane przez spójniki logiczne.

Jakie zdania składowe znasz?

Zdania składowe koniunkcji to czynniki, alternatywy to składniki, równoważności to strony równoważności, zdania składowe implikacji to odpowiednio poprzednik i następnik.

Czym jest formuła?

Formuła jest to każde poprawnie zbudowane wyrażenie zawierające zmienne i symbole spójników logicznych.

Czym jest schemat główny zdania?

Schemat główny zdania jest to formuła zawierająca wszystkie spójniki logiczne dające się wyodrębnić w zdaniu (najdłuższy możliwy schemat danego zdania).

Czym jest spójnik główny?

Spójnik główny jest to spójnik wiążący w całośd formułę. W każdej formule występuje jeden taki spójnik.

Czym jest tautologia?

Tautologia jest to formuła będąca schematem wyłącznie zdań prawdziwych, niezależnie od tego, jakie zdania proste (prawdziwe czy fałszywe) podstawiamy za występujące w formule zmienne.

Czym jest kontrtautologia?

Kontrtautologia jest to formuła będąca schematem wyłącznie zdań fałszywych.

Czym jest prawda logiczna?

Prawda logiczna jest to zdanie, którego schematem jest tautologia.

Czym jest fałsz logiczny?

Fałsz logiczny jest to zdanie, którego schematem jest kontrtautologia.

Czym jest zbiór?

To pewna kolekcja obiektów (elementów).

Co to jest moc zbioru A?

Mocą zbioru A nazywamy ilość elementów tego zbioru i oznaczamy symbolem A̅

Czym są liczby kardynalne?

To moce zbiorów.

Jaką moc ma zbiór liczb naturalnych (N)?

Alef zero ℵ0

Jaką moc ma zbiór liczb całkowitych (C)?

Alef zero ℵ0

Jaką moc ma zbiór liczb wymiernych (W)?

Alef zero ℵ0

Jaką moc ma zbiór liczb rzeczywistych (R)?

Continuum (C, pisane gotykiem)

Jaką moc ma zbiór liczb niewymiernych (IW)?

Continuum (C, pisane gotykiem)

Co to jest zbiór przeliczalny? Podaj przykład

Zbiorem przeliczalnym nazywamy zbiór skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.Np. zbiór liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych.

Co to jest zbiór nieprzeliczalny? Podaj przykład

Zbiorem nieprzeliczalnym nazywamy zbiór nieskończony, który nie jest przeliczalny.Np. zbiór liczb rzeczywistych, przedziały <0,1) oraz (0,1), ponieważ są równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Czym jest podzbiór zbioru skończonego A?

Podzbiorami zbioru skończonego A są zbiory złożone z dowolnych elementów tego zbioru, zbiór pusty oraz cały zbiór A.

Czym jest zbiór potęgowy?

To rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru.Np. Zbiór potęgowy zbioru A to zbiór 2^A. Ilość podzbiorów zbioru skończonego A obliczamy jako 2^A̅

Podaj prawa de Morgana dla rachunku zdań

1) ¬(p v q) <-> (¬p ʌ ¬q) 2) ¬(p ʌ q) <-> (¬p v ¬q)

Podaj prawa de Morgana dla rachunku predykatów

1) ¬∀x P(x) <-> ∃x [¬P(x)] 2) ¬∃x P(x) <-> ∀x [¬P(x)] 3) ∀x P(x) <-> ¬∃x [¬P(x)] 4) ∃x P(x) <-> ¬∀x [¬P(x)]

Podaj prawa de Morgana dla rachunku zbiorów

1) (A∪B)' <-> A' ∩ B' 2) (A∩B)' <-> A' ∪ B'

Czym jest identyczność zbiorów?

Identyczność (równość zbiorów) - Mówimy, że dwa zbiory są sobie równe lub, że są identyczne, gdy mają dokładnie te same elementy A = B <-> ∀x (x∈A <-> x∈B)

Czym jest inkluzja?

Inkluzja (zawieranie się zbiorów) Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (A jest podzbiorem B, A pozostaje w zależności inkluzji do B), gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B. A ⊂ B <-> ∀x (x∈A -> x∈B)

Czym jest rozłączność zbiorów?

Zbiory A i B są rozłączne (A wyklucza się z B), gdy nie mają żadnego elementu wspólnego. A)(B <-> ∀x (x∈A -> x∉B) lub A)(B <-> ¬∃x (x∈A ʌ x∈B)

Czym jest krzyżowanie się zbiorów?

Zbiory A i B krzyżują się, gdy mają pewne elementy wspólne, lecz przy tym każdy z nich posiada elementy nie należące do drugiego. Symbol -> krzyżujące się nawiasy)(

Czym jest suma zbiorów?

Sumą zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub zbioru B. [x∈(A∪B)] <-> [(x∈A v x∈B)]

Czym jest iloczyn zbiorów?

Iloczynem zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i należą do zbioru B. [x∈(A∩B)] <-> [(x∈A) ʌ (x∈B)]

Czym jest różnica zbiorów?

Różnicą zbioru A i zbioru B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. [x∈(A\B)] <-> [(x∈A) ʌ (x∉B)] (można czytać jako "Zbiór A po wycięciu zbioru B")

Czym jest różnica symetryczna zbiorów?

Symbol: kreska a nad nią po środku kropka. [x ∈(A-ᵒ-B)] <-> [x∈(A\B) v x∈(B\A)] lub [x ∈(A-ᵒ-B)] <-> [x∈(A∪B) v x∉(A∩B)]

Jak można zamienić symbole w zbiorach na symbole w rachunku zdań?

„=” na „<->”, „⊂” na „->”, „∪” na „v”, „∩” na „ʌ”, „\” na „ʌ¬”