egzamin

relacja równoważności

nazywamy relacje dwuargumentową Rvw zbiorze A która spełnia następujące warunki: zwrotność, symetryczność, przechodniość

klasy abstrakcji

niech R będzie relacja równoważności w zbiorze X i niech element x należy do zbioru X wtedy klasa x będzie równe y należy do X wtedy y w relacji z x nazywamy klasa abstrakcji w X wyznaczoną przez element x

zbiór liczb naturalnych

oznaczamy symbolem N. Są to liczby N=[0,1,...). Zbiór liczb nieskończony. Najmniejsza liczba n=0, największej nie ma. Podzbiorem są liczby naturalne dodatnie. Za pomocą liczb naturalnych możemy określić liczbę elementów zbioru

własności liczb naturalnych

cechy podzielności liczb naturalnych, liczby parzyste i nieparzyste, liczby pierwsze i złożone, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność, liczby względnie pierwsze, rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze

indukcja matematyczna

to metoda dowodzenia twierdzeń, najwcześniej równań lub nierówności, które są prawdziwe dla nieskończonej liczby przypadków

kombinatoryka

to dział matematyki zajmujący się liczeniem sposobów wyboru i układania elementów. Trzy podstawowe pojęcia to: permutacje, kombinacje i wariancję (z powtórzeniami i bez powtórzeń)

permutacje bez powtórzeń

to każde możliwe ustawienie wszystkich elementów danego zbioru w innej kolejności, gdzie żaden element się nie powtarza.

permutacja z powtórzeniami

to ustawienie elementów w określonej kolejności, gdzie niektóre elementy mogą się powtarzać.

kombinacja bez powtórzeń

to wybór elementów ze zbioru, bez względu na kolejność i bez powtórzeń.

kombinacja z powtórzeniami

to wybór elementów ze zbioru, gdzie kolejność nie ma znaczenia, ale elementy mogą się powtarzać.

wariancja bez powtórzeń

To ustawienie k elementów spośród n różnych elementów, gdzie kolejność ma znaczenie, a elementów nie można powtarzać.

wariancja z powrórzeniami

To ustawienie k elementów spośród n różnych, gdzie kolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać.

symbol newtona

oznacza liczbę sposobów, w jakie można wybrać k elementów z n bez powtórzeń i bez względu na kolejność.

negacja

nieprawda że p

koniunkcja

p i q

alternatywa

p lub q

implikacja

jeśli p to q

równoważność

p wtedy i tylko wtedy gdy q

NAND

p niewspolzachodzi z q, fałsz gdy obie są prawdziwe

NOR

ani p ani q, prawda gdy p i q są fałszywe

dla każdego

kwantyfikator ogólny

istnieje

kwantyfikator szczegółowy

prawa rachunku zdań

przemienność koniunkcji, przemienność alternatywy, łączność koniunkcji, łączność alternatywy, rozdzielność koniunkcji względem alternatywy, rozdzielność alternatywy względem koniunkcji, podwójnego zaprzeczenia, wyłączonego środka, sprzeczności

Prawa rachunku kwantyfikatorów

negacja kwantyfikatorów, rozdzielanie kwantyfikatorów od spójnika logicznego, zmiana kolejności kwantyfikatorów przy tych samych kwantyfikatorach

funkcja f

ze zbioru X w zbiór Y przyporządkowuje każdemu elementowi x należącego do X dokładnie jeden element y należący do Y. relacja między dwoma zbiorami X i Y to dowolny zbiór uporządkowanych par (x,y). Ta relacja spełnia warunek jednoznaczności.

własności funkcji

dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różnowartościowość, surjekcja, bijekcją, parzystość, nieparzystość, maksimum, minimum, ograniczoność, asymptoty, ciągłość, okresowość, wypukłość i wklęsłość

przestrzeń liniowa

nad ciałem K nazywamy zbiór V z określonymi w nim dwoma działaniami: dodawania wektorów i mnożenia przez skalar

działania w przestrzeni liniowej spełniają aksjomaty

dodawanie jest łączne, dodawanie jest przemienne, element neutralny 0, element przeciwny -a, mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów, mnożenie łączne, ele neu 1

przykłady przestrzeni liniowych

wszystkie macierze m na n z elementami z liczb rzeczywistych lub z liczb zespolonych, przestrzenie n-wymiarowe R do n, przestrzen wielomianów R[x], zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych

podprzestrzenią liniową

nazywamy niepusty podzbiór W przestrzeni V który również jest zamknięty na dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar: u+v należy do W, a*v należy do W i 0 należy do W

własności podprzestrzeni liniowej

zawiera wektor zerowy, zamknięte na dodawanie wektorów, zamknięte na mnożenie przez skalar, podprzestrzeni jest również przestrzenią liniową

przykłady podprzestrzeni

zbiór wszystkich wektorów postaci (x, y,0) w R³, zbiór wektorów postaci (x,x) w R²

Wektory liniowo zależne

wektory są liniowo zależne jeśli wektory v1,..., vk należą do przestrzeni V i istnieją liczby a1,... ak należące do R, gdzie nie wszystkie a1,..., ak są równe 0, a spełniają warunek: a1v1+...+akvk=0

przykład wektorów liniowo zależnych

rozważmy wektory v1=(1,2,3), v2=(2,4,6), v3=(3,6,9) są one liniowo zależne, bo możemy wyznaczyć dla a1v1+a2v2+a3v3=(0,0,0) a1=1, a2=-2, a3=1

wektory liniowo niezależne

jeśli z równania a1v1+...+akvk=0 wynika a1=...=ak=0

przykład wektorów liniowo niezależnych

weźmy pod uwagę wektory v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1). dla takich wektorów nie znajdziemy a1, a2, a3 różnych od 0, zatem te wektory są liniowo niezależne.

baza

układ wektorów v1,..., vk nazywamy bazą przestrzeni V jeśli spełnia warunki: układ v1,..., vk jest liniowo niezależny i układ v1,..., vk rozpina V, czyli V=lin(v1,..., vk)

wymiar

liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimV=n. Mówimy że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli n=1,2,... W przeciwnym przypadku mówimy że jest nieskończenie wymiarowa

przykład na bazę i wymiar

V={(2x, x+y, 3x-y, x-2y): x, y należące do R}. v1=(2,1,3,1) v2=(0,1,-1,-2), a dimV = 2

Macierz A o wymiarach m na n

to układ liczb zapisanych w formie prostokątnej tabeli

na macierzach można wykonywać trzy proste operacje elementarne

dodać do jednego wiersza macierzy inny wiersz pomnożony przez liczbę, zmienić dwa wiersze miejscami, mnożyć wiersz przez liczbę różną od zera

macierz transponowana

powstaje przez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wierszy.

działania na macierzach

dodawanie macierzy, odejmowanie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar, mnożenie macierzy (liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B)

rząd macierzy

to liczba naturalna równa stopniu jej największego niezdrowego minora

wyznacznik macierzy

niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. wyznacznik macierzy A oznaczamy jako det(A) lub |A|

wyznacznik macierzy stopnia 1

dla macierzy stopnia 1 wyznacznik jest równy wartości tego jedynego elementu

wyznacznik macierzy stopnia 2

wyznacznik wyraża się wzorem det(A)=a11*a22-a12*a21

wyznacznik macierzy stopnia 3

używamy metody sarrusa, gdzie za 3 kolumną dopisujemy 2 pierwsze kolumny i mnożymy po przekątnych

macierz 4 na 4

tutaj i przy większych macierzach używamy już tylko metody laplace'a czyli wybieramy kolumnę, która ma najwięcej 0, aby było nam łatwiej liczyć i wymnazamy 0 *(-1) do potęgi wiersz plus kolumna i razy wyznacznik tego co zostaje

układ równań liniowych jednorodnych

jest wtedy gdy wszystkie wyrazy wolne są równe 0

układ równań liniowych niejednorodnych

jest wtedy gdy wyrazy wolne są różne od zera, chociaż jeden jest różny od zera

macierz uzupełniona układu równań liniowych

jest to macierz wszystkich współczynników układu a jej ostatnia kolumna są wyrazy wolne tego układu

twierdzenie kroneckera-capellego

układ równań liniowych posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy gdy rząd macierzy współczynnik bez wyrazów wolnych jest równy rządowi macierzy uzupełnionej układu (rzA=rzU), zatem jeśli nie są równe to układ jest sprzeczny

układ Cramera gdy

liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, wyznacznik główny jest różny od zera

iloczyn skalarny

iloczyn skalarny wektorów a=[a1, a2] i b=[b1, b2] to liczba która obliczamy dodając iloczyny odpowiednich współrzędnych a°b=a1*b1+a2*b2. możemy też policzyć ze wzoru a°b= długosc wektora a * długość wektora b * cos kąta między wektorami

własności iloczynu skalarnego

przemienny, łączny względem mnożenia przez liczbę, rozdzielny względem dodawania wektorów, iloczyn skalarny jest równy 0 gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe, wektor a* wektor a=a²

przestrzeń euklidesowa

przestrzeń euklidesowa R do n to n-wymiarowa przestrzeń wektorowa, w której definiowane są operacje dodawania wektorów i mnożenia przez skalar

przestrzeń euklidesowa jako przestrzeń metryczna

przestrzeń euklidesowa R do n staje się przestrzenią metryczną gdy zdefiniujemy w niej metrykę euklidesową. Metryka euklidesowa d dla punktów x=(x1,..., xn) oraz y=(y1,..., yn) jest definiowana jako pierwiastek (x1-y1)²+...+(xn-yn)²

własności metryki euklidesowej

nieujemność: d(x,y)≥0, tożsamość: d(x,y)=0, gdy x=y, symetria: d(x,y)=d(y,x), nierówność trójkąta: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

grupa

grupa (G,*) to para składająca się z nie pustego zbioru G i działania * określonego w zbiorze G, które spełnią aksjomaty: łączność, element neutralny, element odwrotny

przykłady grup

(R,+) liczby rzeczywiste z działaniem dodawania,(Z,+) liczby całkowite z działaniem dodawania,(Q,+) liczby wymierne z działaniem dodawania,(R-{0},*) liczby rzeczywiste bez 0 z działaniem mnożenia, (Q-{0},*) liczby wymierne bez zera z działaniem mnożenia

przykłady struktur które nie są grupami

(N,+) liczby naturalne z działaniem dodawania, (R,*) liczby rzeczywiste z działaniem mnożenia, (Q,*) liczby wymierne z działaniem mnożenia

podgrupa

niech (G,*) będzie grupą i niech H należy do G. Wtedy H będzie podgrupą grupy G, gdy: H≤G, jeśli H ≠ zbioru pustego, i dla każdego a, b należącego do H, ab-1 należy do H

warstwy

niech H będzie podgrupą grupy G i niech a należy do G. warstwą lewostronną (prawostronną) grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez a nazywamy zbiór aH={ah: h należącego do H} (Ha = {ha: h należy do H}), addytywnie a+H={a+h: h należy do H}

twierdzenie Lagrange'a

Niech G będzie grupą skończoną oraz H będzie podgrupą G. Wtedy rząd podgrupy H dzieli rząd grupy G, czyli |H| | |G|, czyli |G|=k*|H|

homomorfizm grup

homomorfizmem grup (G1,*1, e1) w grupę (G2,*2, e2) nazywamy takie przekształcenie fi: G1-->G2, które spełnia warunek: fi(a*1b)=fi(a)*2 fi (b)

przykład homomorfizmu grup

fi: Z-->Z, fi(n)=3n, Sprawdzamy czy fi(a+b)=fi(a)+fi(b), fi(a+b)=3(a+b)=3a+3b, fi(a)+fi(b)=3a+3b, zatem jest to homomorfizm

jądro homomorfizmu

niech przekształcenie fi będzie homomorfizmem grupy (G1,*1, e1) w grupę (G2,*2, e2). jądrem homomorfizmu fi nazywamy zbiór Ker(fi)={a należy do G1: fi(a)=e2}

izomorfizm grup

homomorfizm fi: G-->H nazywamy izomorfizmem, jeśli fi jest bijekcją. Mówimy wtedy, że grupy G i H są izomorficzne i piszemy G=(z falą na górze) H

przykład izomorfizmu grup

np grupa Z jest izomorficzna z grupą 2Z z działaniem dodawania

przekształcenie liniowe (homomorfizm)

Niech K oznacza ciało, a U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcje f: U-->V nazywa się przekształceniem liniowym jeżeli jest: addytywna (zachowuje dodawanie wektorów), jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar)

własności przekształcania liniowego

f(0)=0, f(-x)=-f(x) dla x należącego do U, f(x-y)=f(x)-f(y) dla x, y należących do U, f(a1x1+...+anxn)= a1*f(x1)+...+an*f(xn) dla v1,..., vn należących do U, a1,..., an należące do K

Izomorfizm przestrzeni liniowej

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Przekształcenie f: U-->V nazywamy izomorfizmem gdy f jest bijekcją i homomorfizmem

definicja macierzy przekształcenia liniowego

niech U i V będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ciałem K odpowiednio z bazami A=(a1,..., an) i B=(b1,..., bm), zaś T: U-->V będzie przekształceniem liniowym. Macierzą przekształcenia T w bazach A, B nazywa się taką macierz T A B =[tij] typu m na n.

przykład macierzy przekształcenia liniowego

mamy dane R² i R³ i przekształcenie T: R² -->R³ zadane wzorem T([a, b])=[a, 2b, a+b] w bazach standardowych. Macierz T przekształcenia T w bazach A=([2,0],[0,3]) oraz B=([1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]) jest postaci...